Mit Wohnung in D ist man sogenannter Grenzgänger, wenn man in einem grenznahen Bereich wohnt, z. B. Lörrach, Freiburg, Waldshut o. ä. Dann beantragt man selbst oder (in der Regel) der AG eine sog. Grenzgängerbewilligung, die man beim tägl. Grenzübertritt vorzeigt. Für diese Bewilligung braucht man u. a. eine sog. Ansässigkeitsbescheinigung vom dt. Finanzamt, welches dann auch für die Steuern zuständig ist: in der Schweiz zahlt man als Grenzg. pauschal 4,5% Steuern, der Rest geht ans dt. FinAmt, welches die 4,5% anrechnet. Versichert ist man bezüglich Rente, Arb.losigkeit, Unfall, teilw. auch auf Lohnfortzahlung (sog. Taggeld).
Krankenversicherung könnte man rein theoretisch die deutsche gesetzliche behalten, aber der AGAnteil wird in der Schweiz nicht gezahlt, somit ist die auf einmal doppelt so teuer. Beratung von verschiedenen privaten KKassen, und vergleichen, nichts sofort unterschreiben. die Schweizer gesetzliche ist nicht zu empfehlen, schlechte Absicherung, z. B. kein Zahnersatz...
Andere Version: in die Schweiz ziehen, dort Steuern zahlen (u.U. günstiger, je nach Kanton), braucht man eine andere Bewilligung.
Wg. Arbeitslosengeld: kommt drauf an ob der neue Job Vollzeit- oder Teilzeit, oder geringfügige Beschäftigung ist, da würd ich mich bei der Agentur f. Arbeit informieren.